题目
原文:
Write a method to count the number of 2s between 0 and n.
译文:
写一个函数,计算0到n之间2的个数。
解答
最简单直观的方法就是对于0到n之间的数,一个个地去统计2在它们上出现的个数, 然后累加起来即可。求2在某个数上出现的次数需要O(logn)的时间,一共有n个数, 所以共需要O(nlogn)的时间。
代码如下:
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int Count2(int n){
int count = 0;
while(n > 0){
if(n%10 == 2)
++count;
n /= 10;
}
return count;
}
int Count2s1(int n){
int count = 0;
for(int i=0; i<=n; ++i)
count += Count2(i);
return count;
}
上述方法最大的问题就是效率,当n非常大时,就需要很长的运行时间。 想要提高效率,就要避开暴力法,从数字中找出规律。对于这道题, 《编程之美》已经给出了很漂亮的解法,这里再简述一下。
假设一个5位数N=abcde,我们现在来考虑百位上出现2的次数,即,从0到abcde的数中, 有多少个数的百位上是2。分析完它,就可以用同样的方法去计算个位,十位,千位, 万位等各个位上出现2的次数。
当百位c为0时,比如说12013,0到12013中哪些数的百位会出现2?我们从小的数起, 200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299, 也就是固定低3位为200~299,然后高位依次从0到11,共12个。再往下12200~12299 已经大于12013,因此不再往下。所以,当百位为0时,百位出现2的次数只由更高位决定, 等于更高位数字(12)x当前位数(100)=1200个。
当百位c为1时,比如说12113。分析同上,并且和上面的情况一模一样。 最大也只能到11200~11299,所以百位出现2的次数也是1200个。
上面两步综合起来,可以得到以下结论:
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当某一位的数字小于2时,那么该位出现2的次数为:更高位数字x当前位数
当百位c为2时,比如说12213。那么,我们还是有200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299这1200个数,他们的百位为2。但同时,还有一部分12200~12213, 共14个(低位数字+1)。所以,当百位数字为2时, 百位出现2的次数既受高位影响也受低位影响,结论如下:
1
当某一位的数字等于2时,那么该位出现2的次数为:更高位数字x当前位数+低位数字+1
当百位c大于2时,比如说12313,那么固定低3位为200~299,高位依次可以从0到12, 这一次就把12200~12299也包含了,同时也没低位什么事情。因此出现2的次数是: (更高位数字+1)x当前位数。结论如下:
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当某一位的数字大于2时,那么该位出现2的次数为:(更高位数字+1)x当前位数
根据上面得出的3条结论,我们可以编写出代码如下:
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int Count2s(int n){
int count = 0;
int factor = 1;
int low = 0, cur = 0, high = 0;
while(n/factor != 0){
low = n - (n/factor) * factor;//低位数字
cur = (n/factor) % 10;//当前位数字
high = n / (factor*10);//高位数字
switch(cur){
case 0:
case 1:
count += high * factor;
break;
case 2:
count += high * factor + low + 1;
break;
default:
count += (high + 1) * factor;
break;
}
factor *= 10;
}
return count;
}
如果我们把问题一般化一下:写一个函数,计算0到n之间i出现的次数,i是1到9的数。 这里为了简化,i没有包含0,因为按以上的算法计算0出现的次数, 比如计算0到11间出现的0的次数,会把1,2,3,4…视为01,02,03,04… 从而得出错误的结果。所以0是需要单独考虑的,为了保持一致性,这里不做讨论。 将上面的三条结论应用到这就是:
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当某一位的数字小于i时,那么该位出现i的次数为:更高位数字x当前位数
当某一位的数字等于i时,那么该位出现i的次数为:更高位数字x当前位数+低位数字+1
当某一位的数字大于i时,那么该位出现i的次数为:(更高位数字+1)x当前位数
代码如下:
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int Countis(int n, int i){
if(i<1 || i>9) return -1;//i只能是1到9
int count = 0;
int factor = 1;
int low = 0, cur = 0, high = 0;
while(n/factor != 0){
low = n - (n/factor) * factor;//低位数字
cur = (n/factor) % 10;//当前位数字
high = n / (factor*10);//高位数字
if(cur < i)
count += high * factor;
else if(cur == i)
count += high * factor + low + 1;
else
count += (high + 1) * factor;
factor *= 10;
}
return count;
}
全书题解目录:
Cracking the coding interview–问题与解答
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